Logaritma merupakan salah satu konsep matematika yang
diajarkan mulai dari jenjang SMP hingga SMA/SMK. Meskipun pada dasarnya
melibatkan rumus-rumus, logaritma memiliki banyak penerapan.
Logaritma adalah konsep matematika yang digunakan untuk
memahami dan menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang. Dalam kehidupan
sehari-hari, logaritma sering digunakan untuk mengukur dan menganalisa kejadian
yang melibatkan penambahan, perbandingan, dan perhitungan yang rumit.
Sejarah Singkat Logaritma
Sejarah logaritma dimulai pada abad ke-17 ketika ahli
matematika Inggris, John Napier, memperkenalkan konsep logaritma dalam bukunya
yang berjudul "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" pada tahun
1614. Konsep ini revolusioner pada masanya karena mempermudah perhitungan
matematika yang kompleks.
Napier menciptakan istilah "logaritma" dari bahasa
Latin Tengah, "logaritmus," yang berarti "rasio-bilangan."
Inovasi ini membantu ilmuwan dan matematikawan lainnya untuk lebih mudah dan
cepat menyelesaikan operasi hitung.
Pengertian Logaritma
Logaritma, invers dari perpangkatan (eksponen), digunakan
untuk menentukan besaran pangkat pada bilangan pokok. Dalam rumus, jika \(ab =
c\), maka \(a \log_c = b\).
Beberapa permasalahan dapat diselesaikan dengan logaritma,
seperti perhitungan produksi vaksin, penentuan interval spektrum audio, dan
analisis harga barang berdasarkan permintaan dan penawaran.
Penerapan Logaritma
Penerapan logaritma tidak terbatas pada dunia akademis,
melainkan juga merambah ke berbagai bidang . Beberapa contoh penerapannya
meliputi:
- Bunga Bank: Menghitung bunga tabungan atau investasi menggunakan logaritma.
- Laju Pertumbuhan Penduduk: Menganalisis pertumbuhan penduduk dengan pendekatan logaritmik.
- Astronomi: Mengukur tingkat kecerahan bintang dengan menggunakan skala logaritmik.
- Gempa Bumi: Menentukan kekuatan gempa dan jarak dari pusat gempa menggunakan logaritma.
Hubungan Antara Eksponen dan Logaritma
Eksponen memiliki kebalikan, yaitu logaritma. Sama seperti
bilangan berpangkat merupakan kebalikan dari akar pangkat. Namun, apakah sifat
eksponen dan logaritma itu sama? Mari kita simak beberapa sifat logaritma
berikut.
Sifat-Sifat Logaritma
Sebagai bentuk kebalikan dari eksponen, sifat-sifat
logaritma memainkan peran penting dalam memahami dan menyelesaikan rumus
logaritmik. Beberapa sifat dasar logaritma melibatkan penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian. Sifat-sifat ini membantu menyederhanakan rumus
logaritmik dan mempermudah penyelesaian masalah matematika.
1. \(a \log c + a \log d = a \log cd\)
2. \(a \log c - a \log d = a \log c/d\)
3. \(a \log cm = m a \log c\)
4. \(a \log cm = \frac{p \log c}{p \log a}\)
5. \(\frac{x \log a}{x \log b} = b \log a\)
6. \(an \log cm = \frac{md}{n \log c}\)
7. \(aa \log c = c\)
8. \(a \log a = 1\)
9. \(a \log 1 = 0\)
10. \(a \log b \cdot b \log c = a \log c\)
11. \(a \log an = n\)
Sifat dasar logaritma mencakup \(a \log a = 1\) dan \(a \log
1 = 0\).
Operasi Logaritma
Logaritma dapat dioperasikan seperti bilangan biasa,
melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Sifat-sifat ini
memberikan dasar untuk menyederhanakan dan menyelesaikan berbagai masalah
matematika yang melibatkan rumus logaritma.
A. Sifat Penjumlahan Logaritma
Dua logaritma dengan basis yang sama, jika dijumlahkan, akan
menghasilkan bentuk logaritma perkalian. Contohnya, \(2 \log_3 + 2 \log_4 = 2
\log(3 \times 4) = 2 \log 12\).
B. Sifat Pengurangan Logaritma
Dua logaritma dengan basis yang sama, jika dikurangkan, akan
menghasilkan bentuk logaritma pembagian. Contohnya, \(2 \log 8 - 2 \log 4 = 2
\log(8/4) = 2 \log 2 = 1\).
C. Sifat Perkalian Logaritma
\(a \log b \cdot \log c = a \log c\), menghasilkan logaritma
baru dengan basis yang sama dengan logaritma pertama dan numerus yang sama
dengan logaritma kedua. Contohnya, \(3 \log 2 \cdot 2 \log 4 = 3 \log 4\).
D. Sifat Pembagian Logaritma
\(\frac{x \log a}{x \log b} = b \log a\), menghasilkan
logaritma baru dengan basis yang merupakan numerus penyebut dan numerus yang
tetap menjadi numerus pada log yang baru. Contohnya, \(\frac{2 \log 4}{2 \log
6} = 16 \log 4\).
E. Sifat Logaritma Akar dan Kuadrat
\(a \log cm = ma \log c\), menunjukkan bahwa pangkat dari
numerus bisa dijadikan konstanta di depan logaritmanya. Contohnya, \(4 \log 5^2
= 24 \log 5\), merupakan sifat logaritma kuadrat.
Untuk logaritma akar, akar numerusnya dapat diubah menjadi
bentuk pangkat bilangan, kemudian menggunakan sifat-sifat logaritma yang telah
dijelaskan sebelumnya.
Dengan pemahaman sifat-sifat logaritma dan cara
mengoperasikannya, kita dapat mengatasi berbagai masalah matematika yang
melibatkan logaritma. Mari terapkan pengetahuan ini dalam beberapa contoh soal
logaritma.
Contoh Soal Logaritma
Contoh Soal 1
Sederhanakan bentuk logaritma \(x \log(a^2 - ab) - x \log
2a\). Kedua bentuk log tersebut memiliki basis yang sama, yaitu \(x\). Dengan
menggunakan sifat pengurangan, bentuk sederhana dari \(x \log(a^2 - ab) - x
\log 2a\) adalah \(x \log \frac{a-b}{2}\).
Pembahasan:
Kedua bentuk logaritma tersebut memiliki basis yang sama,
yaitu
x. Menggunakan sifat pengurangan logaritma, kita dapat
menyederhanakannya menjadi
log
−
2
xlog
2
a−b
.
Contoh Soal 2
Diketahui \(5x \log y^2 = \frac{2}{3}\). Berapakah
perbandingan antara \(x\) dan \(y\)? Dengan menggunakan sifat logaritma, kita
dapat menyederhanakan persamaan menjadi \(x \log y = \frac{2}{15}\).
Selanjutnya, substitusikan \(x = 3\) ke dalam
persamaan untuk
mendapatkan perbandingan antara \(x\) dan \(y\), yaitu \(3:5\).
Pembahasan:
Menggunakan sifat eksponen dan logaritma, kita dapat
menyelesaikan persamaan tersebut dan mendapatkan perbandingan
x dan
y, yaitu
3
:
5
3:5.
Contoh Soal 3
Suatu tempat A dilanda gempa bumi dengan kekuatan \(6\) SR.
Persamaan kekuatan gempa buminya dinyatakan sebagai \(K = 2 \log(184 - x)\), di
mana \(x\) merupakan jarak antara suatu daerah dengan titik pusat gempanya
(dalam mil). Berapakah jarak antara tempat A dan pusat gempa?
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita dapat
menyusun persamaan kekuatan gempa menjadi \(2 \log(184 - x) = 2 \log 26\), yang
menghasilkan \(x = 120\) mil sebagai jarak antara tempat A dan pusat gempanya.
Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita dapat
menyusun persamaan kekuatan gempa dan menentukan jarak antara tempat A dan
pusat gempanya, yaitu
120
120 mil.
Dengan pemahaman ini, semoga Kamu bisa memahami berbagai
masalah yang melibatkan logaritma ketika sedang mempelajari saat pelajaran disekolah maupun penerapannya dalam kehidupan sehari hari Kamu.